Archimedesche Körper

Rotierte 4-Seiten-Ansichten

Die Darstellung eines Archimedeschen Körpers benötigt zwei Basis-Informationen: zum ersten die Koordinaten der Eckpunkte, und zum zweiten für jede Facette die Reihenfolge der Eckpunkte, gegeben als Index-Folge im Feld der Eckpunkte. Die Koordinaten wurden sukzessive ermittelt: zunächst die der Platonischen Körper, denn diese Koordinaten sind relativ einfach zu bestimmen. Danach die Stutz-Polyeder usw., zum Schluß die Stumpf-Polyeder, deren Koordinaten zum Teil nur mit mathematischen Näherungsverfahren zu bestimmen sind. Hexa- und Oktaeder-Koordinaten wurden in geradezu 'natürlicher' Weise bestimmt (Ordinaten mit den Werten +1, 0 oder -1, zentriert um den Ursprung). Der Tetraeder benötigt schon die Anwendung des Satzes von Pythagoras. Für Dodeka- und Ikosaeder empfiehlt sich die Auswahl einer Orientierung des Körpers, damit die Formeln zur Koordinaten-Berechnung handhabbar bleiben. Für den Dodekaeder werden die Formeln einfach, wenn zwei gegenüber liegende Facetten parallel zur X-Y-Ebene liegen. Der Ikosaeder benötigt analog dazu eine Orientierung, bei der zwei Eckpunkte maximaler Entfernung auf der Z-Achse liegen. Alle anderen (Archimedeschen) Körper erhalten ihre Orientierung dadurch, daß ihre Eckpunkte als Linearkombination von Platonischen Eckpunkten berechnet werden.

Wenn man jetzt die beiden Morph-Trickfilme dieses Projektes anschaut, bemerkt man je eine Szene, in der kein Morphen, sondern lediglich eine Rotation stattfindet: der Übergang von Tetraeder auf den Stumpf-Tetraeder ist noch 'Morph', aber der Übergang auf den Ikosaeder ist 'Rotation'. Es wäre wohl schöner, wenn die Rotation entfallen könnte: einfach die Körper einer Gruppe (Hexa-Okta oder Dodeka-Ikosa und ihre nächsten Verwandten) passend gedreht, und das Problem wäre gelöst. Das ist soweit richtig, bringt aber auch einen Nachteil, der hier gezeigt werden soll.

Wird die Hexa-Okta-Gruppe in die Orientierung der Dodeka-Ikosa-Familie rotiert, liegen die Körper irgendwie 'schief' in der Gegend; obwohl dabei nur um eine Achse rotiert wird, zeigen Grund-, Auf- und Seitenriß weniger Symmetrie.

nicht-rotiert	rotiert


nicht-rotiert	rotiert

Wird hingegen die andere Gruppe rotiert, sind Dodeka- und Ikosaeder kaum noch zu unterscheiden; obendrein sind sie kaum noch als solche zu erkennen:

nicht-rotiert	rotiert


nicht-rotiert	rotiert

Man sieht: wie man es auch dreht, ohne Rotation beim Übergang vom Stumpf-Tetraeder zum Ikosaeder (und zurück) ist eine Gruppe benachteiligt.

Es folgt eine Link-Liste zu den Einzelbildern; eine Seite mit allen Körpern (rotiert und nicht-rotiert) ist ebenfalls vorhanden, dauert aber -wegen der vielen Bilder- etwas länger beim Laden. Die 'Nummer' bezieht sich auf das Vorschau-Bild.

Nr.	nicht-rotiert	rotiert
1.	Hexaeder	(4,4,4)
2.	Stutz-Hexaeder	(3,8,8)
3.	Kuboktaeder	(3,4,3,4)
4.	Stutz-Oktaeder	(4,6,6)
5.	Oktaeder	(3,3,3,3)
6.	Klein-Rhombikuboktaeder	(3,4,4,4)
7.	Gross-Rhombikuboktaeder	(4,6,8)
7.	Stumpf-Hexaeder (L)	(3,3,3,3,4)
8.	Stumpf-Hexaeder (R)	(3,3,3,3,4)
9.	Stutz-Tetraeder	(3,6,6)
10.	Tetraeder	(3,3,3)
11.	Dodekaeder	(5,5,5)
12.	Stutz-Dodekaeder	(3,10,10)
13.	Ikosidodekaeder	(3,5,3,5)
14.	Stutz-Ikosaeder	(5,6,6)
15.	Ikosaeder	(3,3,3,3,3)
16.	Klein-Rhombikosidodekaeder	(3,4,5,4)
17.	Gross-Rhombikosidodekaeder	(4,6,10)
18.	Stumpf-Dodekaeder (L)	(3,3,3,3,5)
18.	Stumpf-Dodekaeder (R)	(3,3,3,3,5)
-	Tri-Prisma	(3,4,4)
-	Tetra-Prisma	(4,4,4)
-	Hexa-Prisma	(4,4,6)
-	Tri-Antiprisma	(3,3,3,3)
-	Tetra-Antiprisma	(3,3,3,4)
-	Hexa-Antiprisma	(3,3,3,6)