Archimedesche Körper

Metamorphosen

Archimedesche Metamorphosen Stumpf-Hexaeder(L)-Rundflug Stumpf-Hexaeder(R)-Rundflug Hexaeder-Rundflug Stutz-Hexaeder-Rundflug Kuboktaeder-Rundflug Stutz-Oktaeder-Rundflug Oktaeder-Rundflug Stutz-Tetraeder-Rundflug Tetraeder-Rundflug Ikosaeder-Rundflug Stutz-Ikosaeder-Rundflug Ikosidodekaeder-Rundflug Stutz-Dodekaeder-Rundflug Dodekaeder-Rundflug Stumpf-Dodekaeder(L)-Rundflug Stumpf-Dodekaeder(R)-Rundflug Gross-Rhombikuboktaeder-Rundflug Klein-Rhombikuboktaeder-Rundflug Gross-Rhombikosidodekaeder-Rundflug Klein-Rhombikosidodekaeder-Rundflug Morph Hexaeder <-> Stutz-Hexaeder (Szene 01) Morph Stutz-Hexaeder <-> Kuboktaeder (Szene 02) Morph Kuboktaeder <-> Stutz-Oktaeder (Szene 03) Morph Stutz-Oktaeder <-> Oktaeder (Szene 04) Morph Oktaeder <-> Stutz-Tetraeder (Szene 05) Morph Stutz-Tetraeder <-> Tetraeder (Szene 06) Morph Tetraeder <-> Ikosaeder (Szene 07-08) Morph Ikosaeder <-> Stutz-Ikosaeder (Szene 09) Morph Stutz-Ikosaeder <-> Ikosidodekaeder (Szene 10) Morph Ikosidodekaeder <-> Stutz-Dodekaeder (Szene 11) Morph Stutz-Dodekaeder <-> Dodekaeder (Szene 12) Morph Dodekaeder <-> Stumpf-Dodekaeder-L (Szene 13) Morph Stumpf-Dodekaeder-L <-> Ikosidodekaeder (Szene 14) Morph Stumpf-Dodekaeder-L <-> Ikosidodekaeder (Szene 14) Morph Ikosidodekaeder <-> Stumpf-Dodekaeder-R (Szene 15) Morph Ikosidodekaeder <-> Stumpf-Dodekaeder-R (Szene 15) Morph Stumpf-Dodekaeder-R <-> Dodekaeder (Szene 16) Morph Hexaeder <-> Stumpf-Hexaeder-L (Szene 36) Morph Stumpf-Hexaeder-L <-> Kuboktaeder (Szene 37) Morph Stumpf-Hexaeder-L <-> Kuboktaeder (Szene 37) Morph Kuboktaeder <-> Stumpf-Hexaeder-R (Szene 38) Morph Kuboktaeder <-> Stumpf-Hexaeder-R (Szene 38) Morph Stumpf-Hexaeder-R <-> Hexaeder (Szene 39) Morph Stutz-Ikosaeder <-> Klein-Rhombikosidodekaeder (Szene 20) Morph Stutz-Ikosaeder <-> Klein-Rhombikosidodekaeder (Szene 20) Morph Stutz-Ikosaeder <-> Klein-Rhombikosidodekaeder (Szene 20) Morph Klein-Rhombikosidodekaeder <-> Gross-Rhombikosidodekaeder (Szene 21) Morph Gross-Rhombikosidodekaeder <-> Ikosidodekaeder (Szene 22) Morph Dodekaeder <-> Klein-Rhombikosidodekaeder (Szene 25) Morph Dodekaeder <-> Klein-Rhombikosidodekaeder (Szene 25) Morph Klein-Rhombikosidodekaeder <-> Ikosaeder (Szene 26) Morph Klein-Rhombikosidodekaeder <-> Ikosaeder (Szene 26) Morph Klein-Rhombikosidodekaeder <-> Ikosaeder (Szene 26) Morph Tetraeder <-> Kuboktaeder (Szene 29) Morph Kuboktaeder <-> Gross-Rhombikuboktaeder (Szene 30) Morph Gross-Rhombikuboktaeder <-> Klein-Rhombikuboktaeder (Szene 31) Morph Klein-Rhombikuboktaeder <-> Stutz-Oktaeder (Szene 32) Morph Oktaeder <-> Klein-Rhombikuboktaeder (Szene 34) Morph Klein-Rhombikuboktaeder <-> Hexaeder (Szene 35) Morph Klein-Rhombikuboktaeder <-> Hexaeder (Szene 35) Morph Hexaeder <-> Tetraeder (Szene 40) Morph Hexaeder <-> Tetraeder (Szene 40) Morph Hexaeder <-> Tetraeder (Szene 40) Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus Stumpf-Hexaeder(L)-Rundflug Stumpf-Hexaeder(R)-Rundflug Hexaeder-Rundflug Stutz-Hexaeder-Rundflug Kuboktaeder-Rundflug Stutz-Oktaeder-Rundflug Oktaeder-Rundflug Stutz-Tetraeder-Rundflug Tetraeder-Rundflug Ikosaeder-Rundflug Stutz-Ikosaeder-Rundflug Ikosidodekaeder-Rundflug Stutz-Dodekaeder-Rundflug Dodekaeder-Rundflug Stumpf-Dodekaeder(L)-Rundflug Stumpf-Dodekaeder(R)-Rundflug Morph Hexaeder <-> Stutz-Hexaeder (Szene 06) Morph Stutz-Hexaeder <-> Kuboktaeder (Szene 05) Morph Kuboktaeder <-> Stutz-Oktaeder (Szene 04) Morph Stutz-Oktaeder <-> Oktaeder (Szene 03) Morph Oktaeder <-> Stutz-Tetraeder (Szene 02) Morph Stutz-Tetraeder <-> Tetraeder (Szene 01) Morph Tetraeder <-> Ikosaeder (Szene 17-18) Morph Ikosaeder <-> Stutz-Ikosaeder (Szene 19) Morph Stutz-Ikosaeder <-> Ikosidodekaeder (Szene 20) Morph Ikosidodekaeder <-> Stutz-Dodekaeder (Szene 21) Morph Stutz-Dodekaeder <-> Dodekaeder (Szene 22) Morph Dodekaeder <-> Stumpf-Dodekaeder-R (Szene 23) Morph Stumpf-Ikosaeder-L <-> Ikosaeder (Szene 24) Morph Ikosaeder <-> Stumpf-Ikosaeder-R (Szene 25) Morph Stumpf-Dodekaeder-L <-> Dodekaeder (Szene 26) Morph Hexaeder <-> Stumpf-Hexaeder-L (Szene 07) Morph Stumpf-Oktaeder-R <-> Oktaeder (Szene 08) Morph Oktaeder <-> Stumpf-Oktaeder-L (Szene 09) Morph Stumpf-Hexaeder-R <-> Hexaeder (Szene 10)

Was ist »morphen«?

Beim Morphen geht es um die Transformation eines Bildes in ein anderes; wikipedia gibt darauf eine ausführliche Antwort. Im vorliegenden Projekt werden jedoch nicht fertige zweidimensionale Bilder transformiert, sondern die abgebildeten Objekte dienen als Morph-Basis. Deren Eckpunkte bewegen sich nach bestimmten, vordefinierten Regeln auf geraden Linien, die Kanten verbinden weiterhin die Eckpunkte, und der resultierende Körper wird in seiner Größe in eine Einheitskugel skaliert. Nur die Geschwindigkeit der Punkt-Bewegung variiert, damit die Verwandlungen der Archimedeschen Körper glatt und ruckfrei aussehen.

Verwendete Morph-Varianten

1. Ecken-Stutzen

Jeder Eckpunkt eines Platonischen Körpers wird sooft vervielfacht, wie an ihm Kanten anliegen (=m). Die Klone eines Eckpunktes bleiben miteinander durch Kanten verbunden.
Jeweils die Endpunkte einer platonischen Kante bewegen sich aufeinander zu. Die Kopien jedes Basis-Eckpunktes bilden die Eckpunkte einer archimedeschen m-Eck-Facette, die den platonischen Basis-Eckpunkt ersetzt. Aus den n-Eck-Facetten des ursprünglichen Platonischen Körpers werden zunächst die 2n-Eck-Facetten eines Archimedeschen Stutz-Polyeders (Konstruktionsprinzip →'Drittel-Kanten-Schnitt'). Bei Fortführung des Algorithmus' laufen die beiden Basis-Kanten-Endpunkte zusammen (→'Halb-Kanten-Schnitt'): aus einem Platonischen Eckpunkt wird ein m-Eck und aus einer Platonischen n-Eck-Facette wird wieder eine n-Eck-Facette; diese ist kleiner als die Basis-Facette und ihr gegenüber um 180°/n gedreht.
Ein Beispiel ist die Transfomation Hexaeder - Stutz-Hexaeder - Kuboktaeder (Format →HTML (Bilder 0001-0031-0061), →WMV oder →MPEG-2).

2. Facetten-Schrumpfen

Jeder Eckpunkt eines Platonischen Körpers wird sooft vervielfacht, wie an ihm Kanten anliegen (=m). Die Klone eines Eckpunktes bleiben miteinander durch Kanten verbunden.
Die Eckpunkte jeder Facette bewegen sich auf deren Mittelpunkt zu. Dadurch schrumpfen die ursprünglichen Facetten (bei konstanter Ausrichtung), Kanten werden zu Rechtecken bzw. Quadraten, Eckpunkte zu m-Eck-Facetten.
Es entstehen zunächst die Klein-Rhombi-Polyeder bzw. der Kuboktaeder und bei weiterem Ablauf die "dualen" Platonischen Körper.

3. Kanten-Stumpfen

Beim ersten Algorithmus wandern zusammengehörige Punkte auf den Mittelpunkt einer Kante zu, beim zweiten Algorithmus auf den Mittelpunkt einer Facette. Hier wird beides verallgemeinert: Jeder Eckpunkt eines Platonischen Körpers wird entsprechend der Anzahl m der anliegenden Kanten vervielfacht. Die Klone eines Eckpunktes bleiben miteinander durch Kanten verbunden. Zusätzliche archimedesche Kanten verbinden jeweils ein Paar diagonal gegenüber liegender Endpunkt-Klone jeder platonischen Kante.
Die Eckpunkte jeder Facette werden einerseits zum Mittelpunkt der Facette hin, gleichzeitig aber auch in Richtung des anderen Kanten-Endpunktes versetzt (alle in die gleiche Richtung gemessen in der Orientierung der Facetten-Eckpunkte). Jede ursprüngliche Facette wird dadurch in ihrer Ebene geschrumpft und leicht um ihren Schwerpunkt verdreht. Jede Basis-Kante zerfällt in zwei kleinere, die ohne die erwähnte Drehung parallel zueinander wären. Die beiden Endpunkte dieser Kanten, die einerseits nicht vom gleichen Basis-Eckpunkt stammen, andererseits aber den kleineren Abstand voneinander haben, werden durch eine Kante verbunden, ebenso die beiden Kanten-Endpunkt-Klone gleicher Abstammung. Aus einer platonischen Kante entstehen also zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Kante. Die m Instanzen jedes platonischen Eckpunktes bilden auch hier eine m-Eck-Facette, die diesen Eckpunkt ersetzt.
Hexa- und Oktaeder werden - bei geeigneten Parametern - zum Stumpf-Hexaeder, Dodeka- und Ikosaeder zum Stumpf-Dodekaeder, und der Tetraeder wird zum Ikosaeder.

4. Selektive Verfahren

Bei den bisher genannten Verfahren werden alle Ecken, Kanten und Facetten eines Platonischen Körpers in gleicher Weise behandelt. Die Modifikationen können aber auch nur auf einen Teil der Komponenten angewendet werden.

»Partial-Stutzen«: Hexaeder - Tetraeder

Man wähle von den acht Ecken eines Hexaeders vier derart aus, daß jede Kante genau eine ausgewählte und eine nicht-ausgewählte Ecke verbindet. Die ausgewählten Ecken werden analog zum Ecken-Stutzen entfernt. Es verbleibt ein Tetraeder.

»Partial-Schrumpfen«: Klein-Rhombi-Polyeder - Groß-Rhombi-Polyeder - Misch-Polyeder

Diejenigen Quadrate eines Klein-Rhombi-Polyeders, die eine gemeinsame Kante mit einem Dreieck haben, werden analog zum Facetten-Schrumpfen verkleinert. So entsteht zunächst der zugehörige Groß-Rhombi-Polyeder, dann der entsprechende Misch-Polyeder (Kubokta- bzw. Ikosidodekaeder).
Man könnte versucht sein, diesen Vorgang als Ecken-Stutzen beim Misch-Polyeder zu interpretieren. Doch Vorsicht: bei einer Gleich-Behandlung aller Ecken nach diesem Algorithmus hätte das Resultat verschieden lange Kanten!

Hinweis

Wie gerade zuvor erwähnt: man kann viele Metamorphosen definieren, aber keineswegs alle führen auf einen Archimedeschen Körper. Besonders, wenn der Basis-Körper kein platonischer ist, sind unregelmäßige Modifikationen am Algorithmus notwendig, um die Transformation zum gewünschten Ziel zu führen. Aus diesem Grunde wurden in diesem Projekt auch keine weiteren Versuche unternommen. Die 'Partial'-Algorithmen sind schon eigenartig genug…

 

»Archimedesche Metamorphosen«

Der erste Morph-Film zeigt Verwandtschaften zwischen allen Archimedeschen Körpern auf und verwendet dafür alle oben genannten Verfahren. Es stehen drei verschiedene 'Movie-Formate' zur Verfügung; Sie können hier wählen, in welchem Format Sie die Movies sehen möchten. Nach dieser Auswahl sind Sie (bis zur nächsten Wahl) auf das gewählte Format festgelegt! Während WMV und MPEG-2 jeweils einen Film laden und anzeigen, zeigt das HTML-Format hochaufgelöste Einzelbilder aus dem Film (empfohlene Bildschirmauflösung: 1280×1024 !); diese sind mit einer 'sensitiven Steuerung' versehen. Wenn Sie auf einen der vordefinierten Bereiche der Legende (rechts) klicken, gelangen Sie zu einer Morph-Szene (in der Nähe einer Verbindungslinie, sofern diese eindeutig ist) oder zu einem Rundflug um einen Archimedeschen Körper (auf dessen Eckenbeschreibung).
  • HTML: Ausweich-Format, wenn Sie für keines der beiden anderen ein Programm zur Wiedergabe auf Ihrem Rechner haben. Morph-Szenen werden mit jedem 5. Bild des Filmes gezeigt, von einem Rundflug wird jedes 10. Bild angeboten; kein Movie, sondern Einzelbilder, aber von bester Qualität.
  • WMV (Windows Media Video): Deutlich kleiner als MPEG-2, aber auch erkennbar schwächere Bildqualität.
  • MPEG-2: Movie mit guter Bildqualität, aber recht großen Dateien.
Das folgende Bild gibt Ihnen einen Einstieg in die HTML-Version des Filmes. Die beiden Movie-Versionen zeigen das gleiche Bild, können aber nicht durch einen Klick in das 'bewegte Bild' zum Zeigen einer anderen Szene gebracht werden; das geht mittels eines Klicks in die Legende des Ausgangsbildes.

Archimedesche Metamorphosen (0001)
 
Archimedesche Metamorphosen (0001): vorige Szene Archimedesche Metamorphosen (0001): voriges Bild Archimedesche Metamorphosen (0001): erstes Bild Archimedesche Metamorphosen (0001): nächstes Bild Archimedesche Metamorphosen (0001): nächste Szene
 
  Andere Video-Formate: WMV (groß) MPEG-2 (größer)  

Übrigens: Die Szene 08 (Stumpf-Tetraeder↔Ikosaeder; Bilder 0211-0241) dieses Filmes ist kein Morphen, sondern nur ein Rotieren; warum ist das notwendig?

 

»Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus«

Der zweite Film verwendet nur zwei der vorgestellten Algorithmen und erreicht daher nicht alle Archimedeschen Körper. Dafür zeigt er die Identität von Stumpf-Hexa- und -Oktaeder ebenso wie die von Stumpf-Dodeka- und -Ikosaeder. Auch wird die zentrale Funktion des Tetraeders als Bindeglied zwischen den beiden Archimedeschen Groß-Familien verdeutlicht: der Stutz-Algorithmus zeigt die Verwandtschaft zur Hexa-Okta-Gruppe, während der Stumpf-Algorithmus die Verbindung zum Dodeka-Ikosa-Clan herstellt; beim Facetten-Schrumpfen hingegen ist der Tetraeder sich selbst der nächste.

Das folgende Bild gibt Ihnen einen Einstieg in die HTML-Version des zweiten Filmes. Die beiden Movie-Versionen zeigen das gleiche Bild, können aber nicht durch einen Klick in das 'bewegte Bild' zum Zeigen einer anderen Szene gebracht werden; das geht mittels eines Klicks in die Legende des Ausgangsbildes.

Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001)
 
Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001): vorige Szene Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001): voriges Bild Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001): erstes Bild Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001): nächstes Bild Archimedesche Metamorphosen: Stumpf- und Stutz-Algorithmus (0001): nächste Szene
 
  Andere Video-Formate: WMV (groß) MPEG-2 (größer)  

Übrigens: Die Szene 18 (Stumpf-Tetraeder↔Ikosaeder; Bilder 0853-0903) dieses Filmes ist kein Morphen, sondern nur ein Rotieren; warum ist das notwendig?

[E-Mail]  aktualisiert am: 25.01.2008;  ©2007, 2008 Klaus Bernt, Uni Augsburg