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Archimedesche Körper

Projektion

Zur Definition der Parallelprojektion benötigt man vor allem die Blickrichtung, aus der man die virtuelle 3D-Welt betrachtet. Oft wird diese Angabe in Form eines Vektors (x,y,z) gegeben; von diesem (Blick-)Punkt aus schaut man zum Koordinaten-Ursprung, wodurch die Blickrichtung definiert ist. Diese Art der Bestimmung hat den Vorteil, leicht verständlich zu sein; sie hat aber auch verschiedene Nachteile. Zum ersten enthält sie redundante Information, nämlich die Länge des Vektors. Zum zweiten gibt es einen Spezialfall -den Nullvektor-, der für die Definition einer Richtung ungeeignet ist. Außerdem fehlt noch eine Information: die Blickrichtung sagt zwar, wohin man schaut, aber sie sagt nichts über die Orientierung; wo ist oben? Dies wird üblicherweise mit einem zweiten Vektor angegeben, der noch mehr Probleme bringt: er darf nicht linear abhängig vom ersten Vektor sein (d.h. Nullvektor und gleiche oder entgegengesetzte Richtung sind verboten), und er sollte auf dem ersten Vektor senkrecht stehen. Die zweite Forderung ist dabei nicht zwingend notwendig; man arbeitet dann mit einer orthogonalen Projektion: der erste Vektor (Blickrichtung) definiert eine Ebene (Normalen-Ebene = Zeichenfläche), auf die der zweite Vektor (Orientierung) projiziert wird. Insgesamt sind bei dieser Art der Projektions-Bestimmung sechs Koordinaten anzugeben mit der Gefahr, daß die Werte unzulässig sind.

Ungefährlich sind dagegen Polar-Angaben, wie sie beispielsweise in der Astronomie zur Bestimmung von Planetenbahnen verwendet werden.

Dazu wird die Blickrichtung im gegebenen Koordinatensystem definiert durch die Winkel α und δ. α ist der Winkel zwischen der X-Achse und der Projektion des Blickrichtungsvektors (hier blau gezeichnet und mit der Beschriftung 'zum Betrachter') auf die X-Y-Ebene, gemessen (wie alle hier verwendeten Winkel) in mathematisch positiver Richtung, d.h. im Gegenuhrzeigersinn; dies entspricht einem geografischen Längengrad des Blickpunktes. δ ist der Winkel zwischen der X-Y-Ebene und dem Blickrichtungsvektor; dies entspricht einem geografischen Breitengrad.

Die Orientierung wird in dieser Definition durch den Winkel ω gegeben, der etwas schwieriger zu erläutern ist.
Der Blickrichtungsvektor definiert seine Normalen-Ebene (diejenige, zu der der Vektor die Normale bildet; sie ist hier hellblau gezeichnet). Bei |δ|≠90° schneidet diese Ebene die X-Y-Ebene unter dem Winkel |90°-|δ||, und die Schnittgerade hat zur X-Achse einen Winkel von 90°+α. Außerdem enthält die Normalen-Ebene jeden möglichen Orientierungs-Vektor. Die gewünschte Orientierung wird durch den Winkel ω zwischen dem Schnitt-Strahl mit aufsteigender Richtung und dem Orientierungs-Vektor (hier blau gezeichnet mit der Beschriftung 'oben') definiert.
Der Schnitt-Strahl… muß erklärt werden: Wenn man den Blickrichtungsvektor (blau, 'zum Betrachter') in mathematisch positiver Richtung (Gegenuhrzeigersinn) auf der Normalen-Ebene (hellblau mit dunklem Rand ) umrundet, gibt es zwei Stellen, an denen die Z-Komponente des eigenen Standortes das Vorzeichen wechselt; gleichzeitig überschreitet man die oben genannte Schnittgerade und -in geografischer Interpretation- den Äquator (man durchdringt die X-Y-Ebene). Bei jedem dieser beiden Ereignisse quert man genau eine Schnitt-Halbgerade (=Strahl). Der Schnitt-Strahl mit aufsteigender Richtung ist derjenige, bei dem das Vorzeichen der Z-Komponente von minus nach plus wechselt: die Z-Komponente wächst.

Als 'kritische Punkte' kommen in der Polar-Darstellung solche mit |δ|=90° in Betracht. In diesen Fällen hat die Projektion des Blickrichtungsvektors die Länge null; der Blick geht senkrecht auf die X-Y-Ebene. Der Längen-Winkel α spielt für die Blickrichtung keine Rolle, wohl aber für die Orientierung. Verwendet man die gleiche Definition wie bei den anderen δ-Werten, ergibt sich bei einem Flug über den Pol ein gleichmäßig verändertes Bild, wenn man (bei konstantem α und ω) |δ| über 90° hinaus wachsen läßt. Will man den Breitengrad δ wieder in den Standard-Bereich [-90°,90°] bringen, muß man nicht nur δ anpassen, sondern auch α und ω. Ferner ist dann zu beachten, daß die Änderungsrichtung von δ wechselt.

Frage: Bei welcher Wahl von (α,δ,ω) erhält man diejenige Projektion, bei der man zur Berechnung des projizierten Punktes einfach die Z-Komponente des ursprünglichen Punktes weglassen kann?