| Klaus BERNT |
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Komplexe FunktionenKonstruktion der BilderFunktionGegeben ist eine Funktion p: C → C, die mittels Farb-Kodierung der Funktionswerte dargestellt werden soll. Die Bilder auf dieser Seite zeigen komplexe rationale Polynome mit paarweise verschiedenen einfachen Nullstellen und Polen, die im Ursprung und auf zwei dazu konzentrischen Kreisen liegen.DarstellungsfensterEin komplexes Definitions-Intervall (Rechteck) wird mit einer affin-linearen Transformation dem Darstellungsfenster zugeordnet. Das komplexe Rechteck wird in kleine Zellen aufgeteilt, jeder Zelle eine komplexe Zahl z zugeordnet (z.B. die Position des Zellen-Mittelpunktes) und die Funktion p an dieser Stelle ausgewertet. Der Funktionswert p(z) wird in eine Farbe umgerechnet, mit der die Zelle im Fenster eingefärbt wird. Wer mag, kann sich eine solche 'Zelle' als 'Pixel' vorstellen; das Zellen-Konzept erlaubt jedoch beliebige Skalierung und beliebige Zell-Formen. Beide haben Einfluß auf das Aussehen des Bildes.FarbenFarben werden auf dem Computer im RGB-System als Triplet (r,g,b) von Helligkeitswerten im Intervall [0,1] dargestellt. Dabei bezeichnet 'r' die Intensität des roten, 'g' die des grünen und 'b' die des blauen Farbanteils. Durch die additive Farbmischung, die am Monitor gegeben ist, entsteht aus rot und grün die Farbe gelb ('y'=yellow), aus grün und blau wird türkis ('c'=cyan), und blau und rot wird gemischt zu lila ('m'=magenta). Diese (additiven) Mischfarben werden für den Drucker zu Grundfarben, da dieser eine subtraktive Farbmischung verwendet: die Farbe gelb sieht auf dem Papier gelb aus, da sie den Blau-Anteil des auftreffenden Lichtes absorbiert und nur rot und grün reflektiert. Der Monitor hingegen ist eine aktive Lichtquelle: wenn er an einem Punkt (oder an zwei Punkten, die so dicht beieinander stehen, daß das Auge sie für einen Punkt hält) rot und grün leuchtet, sieht unser Auge gelb. Der Drucker bekommt zusätzlich eine vierte 'Farbe': schwarz ('k'=black) ist aus den Grundfarben CMY nicht herzustellen, das wird eher braun.Transformation Funktionswert→FarbeDa Farben als Triplet (r,g,b) von Helligkeitswerten im Intervall [0,1] dargestellt werden, muß der Funktionswert (eine komplexe Zahl) in ein solches Triplet transformiert werden. Eine lineare Transformation kommt dafür oft nicht in Frage. Besonders wenn die Funktion Pole besitzt, bekommt man damit keine gleichmäßige Verteilung der zur Verfügung stehenden Farbwerte auf das Intervall der Funktionswerte hin. Zur Verbesserung des Farbkontrastes kann eine periodische Transformation sehr hilfreich sein. Um spezielle Punkte hervorzuheben, sollte an diesen Stellen ein starker Farbwechsel erzeugt werden. Das kann sowohl durch eine stark veränderte Helligkeit als auch durch eine massive Änderung des Farbtons (z.B. Übergang zur Komplementärfarbe) realisiert werden.Die Werte der Beispiel-Funktionen wurden wie folgt transformiert:
Bei der Darstellung des Betrages sollte unbedingt darauf geachtet werden, daß keine Nullstelle von p abgebildet werden soll: ln(0.0) ist nicht definiert und führt zu einem Fehler-Abbruch. Der Faktor 0.0001 ist hier gewählt, um gemeinsam mit dem ln und dem Faktor 90.0 eine mäßige Anzahl von Farb-Perioden zu generieren. Analog zur Darstellung des Betrages sollte man bei Real- und Imaginärteil keine Nullstelle abzubilden versuchen. Wieder sind die Faktoren aus rein ästhetischen Gründen gewählt. Die Betragsbildung ist wegen des Logarithmus notwendig. Der Logarithmus hat hier zweierlei positive Effekte: zum einen reduziert er die sehr steilen Flanken der Pole der dargestellten rationalen Polynome auf gemäßigte Spitzen, zum anderen hebt er Nullstellen hervor. SpektrumUm aus einem Funktionswert p(z) eine Farbe zum Füllen der Zelle zu gewinnen, kann z.B. eine Komponente des Funktionswertes in ein Farb-Triplet gewandelt werden (die Bilder der Seite index.shtml wurden so erzeugt), oder man wandelt verschiedene Komponenten in jeweils einen Grundfarben-Wert (so entstanden die Bilder dieser Seite). Im ersten Fall benötigt man die Definition eines Spektrums, das beim Durchlaufen des Intervalls [0,1] angenommen wird (hier: von blau nach gelb, was komplementär zu blau ist). Im zweiten Fall werden drei (nicht unbedingt) verschiedene Funktionen verwendet, von denen jede einen der Grundfarben-Werte liefert. Als 'Hilfskonstruktion' für den Fall, daß nur zwei Komponenten der Funktionswerte verwendet werden sollen, ist die Null-Funktion eine sinnvolle Ergänzung. Ebenso ist es möglich, eine Komponente für zwei Farben einzusetzen. Von einer 'Eins-Funktion' ist eher abzuraten: die resultierenden Farben dürften schauerlich aussehen.Durch geeignete Definition des Spektrums (Intensitäts-Peaks) kann man auch Niveaulinien erzeugen. Diese Peaks sollten aber nicht zu eng sein: wegen des Zellen-Konzepts würden steile Werte-Flanken möglicherweise nicht erkannt werden. Transformation der FarbeZu guter letzt kann man auch die Verteilung des gewählten Spektrums noch modifizieren. Da die Farben als Werte im Intervall [0,1] geliefert werden, kann ihre Verteilung durch Transformationen [0,1]→[0,1] verzerrt werden, z.B. mittels Quadrat- oder Wurzel-Bildung (Quadrat hebt die hohen Werte hervor und schwächt niedrige ab; Wurzel hellt auf und betont niedrige Werte)
Nach der vielen Theorie noch einige Resultate.
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Alle Bilder hier zeigen ein Polynom der Art
p(z)=Π{i}(z-zi)/Π{j}(z-zj) mit 5 bzw. 6
Nullstellen bzw. Polen konzentrisch um den Ursprung gelegen.
Bilder von zwei Komponenten
Bilder von drei KomponentenZu Real- und Imaginärteil wird Betrag bzw. Winkel als dritte Komponente hinzugenommen. Es mag dabei überraschen, daß dies tatsächlich sinnvolle Ergänzungen sind.
FarbenkreisEine weitere Idee, die komplexen Funktionswerte in ihrer Polardarstellung zu präsentieren, verwendet das HLS-Farbsystem: Hue (Farbe), Lightness (Helligkeit) und Saturation (Sättigung). Dieses System stellt die Farben auf einem Kreis dar: bei 0° liegt rot, und im Abstand von 60° folgen gelb, grün, cyan, blau, magenta und wieder rot. Andere Winkel sind den entsprechenden Mischfarben aus den benachbarten Grundfarben zugeordnet. Damit eignet sich der Farbenkreis hervorragend zur Darstellung eines Polar-Winkels. Die zweite Komponente -der Betrag- kann mit der Helligkeit visualisiert werden: man multipliziert die drei Farbwerte RGB, die auf dem Farbenkreis zu dem Winkel gehören, mit einem Helligkeitsfaktor in [0,1], der aus dem Betrag des Funktionswertes berechnet wird, und erhält ein Bild, das beide Komponenten gemeinsam zeigt.Die folgende Tabelle zeigt eine Reihe von solchen Betragsfiltern und wie sie auf die originale Farbkreis-Darstellung der Polarwinkel wirken. Die Filter unterscheiden sich nur dadurch, daß sie den aus der Betragsfunktion gewonnenen Wert (in [0,1]) verschieden modifizieren: Wurzel ziehen, quadrieren, von 1.0 abziehen usw.. Die erste Spalte der Tabelle sagt, wie der Betragswert x verändert wird.
Farbenkreis mit Betrags-NiveaulinienDie obigen Bilder stellen den Betrag einer Bild-Zahl mit der Helligkeit der Urbild-Zelle dar. Da der Mensch nur circa 70 Helligkeitstufen einer Farbe unterscheiden kann, sind die Kontrast-Möglichkeiten begrenzt. Durch die Verwendung von Niveaulinien erhält man zusätzliche Präsentationsmöglichkeiten. Diese Linien erreicht man durch eine geeignete Wahl des Helligkeitsfilters. Es folgen einige Aufnahmen der Betragsfilter, eingerahmt von den Resultaten der Anwendung des jeweils ersten Filters auf das Bild der Polarwinkel.
Farbenkreis mit Winkel- und Betrags-NiveaulinienIn den folgenden Bildern wird der Polar-Winkel des Bildes jedes Punktes mit der Farbe der Urbild-Zelle dargestellt (Farbenkreis). Die Helligkeit der Zellfarbe wird mit einem Filter bestimmt, dessen Wert in [0,1] liegt und auf die drei Farbkomponenten (ebenfalls in [0,1]) multipliziert wird.Der Betrag ist nur einseitig beschränkt (nach unten durch die Null), deshalb ist hier eine Überlegung notwendig. Für die vorliegenden Funktionen p (rationale Polynome mit 11 Nullstellen und Polen) hat sich eine logarithmische Transformation mit Abschneide-Beschränkung bewährt: f(z)=(min(max(-10,ln(p(z).r+exp(-10))),12)+10)/22. Andere Funktionen können andere Transformationen verlangen, um eine brauchbare Helligkeitsverteilung zu erzeugen! Der Winkel wird einfach linear transformiert mittels g(z)=p(z).α/360° (α gemessen in Grad). f und g sind somit zwei Funktionen, die eine komplexe Zahl z auf das Rechteck [0,1]² abbilden. Durch geeignete Kombination dieser beiden Werte lassen sich Polar-Niveaus im Bild von p darstellen. Zur Erzeugung von Niveaus werden f und g zunächst mit einer Schwingung versehen. Dabei haben sich -für die vorliegenden Funktionen- die Frequenzen 12 (für α) und 22 (für r) bewährt: f'(z)=(cos(22*f(z)*360°)+1)/2 (f(z) ∈ [0,1)) bzw. g'(z)=(cos(12*g(z)*360°)+1)/2 (g(z) ∈ [0,1)). Der α-Faktor hat Maxima bei α=j*30°, also -auf den Farbenkreis bezogen- insbesondere bei den Grund- und Standard-Mischfarben. Die Transformation '(...)+1/2' sorgt dafür, daß das Resultat wieder in [0,1] liegt. Dies wäre z.B. auch durch 'abs(...)' oder '(...)²' erreichbar; beide verdoppeln die Frequenz, erzeugen also doppelt so viele Linien wie die erste Transformation. Um die Linien zu verschärfen, bieten sich weitere Transformationen an: 'x²' oder 'sqrt(x)' können auch mehrfach angewendet werden. 'x²' erzeugt dabei helle Linien mit steileren Flanken in dunklen Flächen, während 'sqrt(x)' dunkle Linien auf hellem Grund liefert. Die Transformation '1-x' kehrt die Begriffe 'hell' und 'dunkel' um. Durch die Kombination dieser Transformationen lassen sich vielfältige Effekte erzielen. Zum Schluß werden die beiden Filter-Werte für r und α zu einem Wert kombiniert. Durch Multiplikation f(z)*g(z) erreicht man, daß Minima jeder der beiden Komponenten als Gesamt-Minimum dargestellt werden; dadurch entsteht ein relativ klares Gitter. Addiert man stattdessen die beiden Filterwerte zu (f(z)+g(z))/2, so werden nur gemeinsame Minima als Minimum deutlich; diese Punkte sind Knoten des Gitters. Als 'exotische Spielerei' könnte man die Subtraktion (f(z)-g(z)+1)/2 bezeichnen, für die es am Ende ebenfalls einige Beispiele gibt.
Inverse FunktionIn allen bisherigen Bildern sind die Funktionswerte farbig kodiert und mit Niveaulinien versehen. Genauso interessant wie die Frage nach gleichen Funktionswerten (bzw. gleichen Komponenten) im Bild ist aber die Frage, wohin die Urbild-Niveaus abgebildet werden. Um dies zu zeigen, müßte die inverse Funktion bekannt sein und dargestellt werden. Da die originale Beispiel-Funktion nicht injektiv ist -man erkennt das zum Beispiel am mehrfachen Umlauf um den Bild-Ursprung, während man nur einmal den Urbild-Ursprung umrundet-, gibt es zu dieser Funktion keine globale Umkehrfunktion. Dennoch ist im folgenden versucht worden, eine Darstellung der existierenden lokalen Umkehrung zu gewinnen: die Position jeder Bild-Zelle entspricht jetzt nicht mehr den Urbild-Koordinaten, sondern denen des Bildpunktes. Die Urbild-Zellen werden zeilenweise von unten nach oben und von links nach rechts bearbeitet und dargestellt. Wegen dieser Reihenfolge überdecken später bearbeitete Zellen mit ihren Bildern die früher bearbeiteten, und es gibt keinen Zusammenhang mehr zwischen den Bildern von im Urbild benachbarten Zellen. Während des Bildaufbaus kann man die Entstehung der 'Blätter' beobachten, die übereinander liegen. Danach ist noch schwach das eigentlich gesuchte Ergebnis zu erahnen: das Bild eines Teiles des Urbild-Koordinaten-Gitters. Hier wurde auf die Variante 'Pole außen' verzichtet, da sich deren Zell-Bilder in mehreren Schichten um den Ursprung versammeln.
Doppelte NullstelleIn den folgenden Bildern wurde die zentrale Nullstelle verdoppelt. Woran ist das zu erkennen?
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