| Klaus BERNT |
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Komplexe FunktionenDie folgenden Bilder zeigen eine Möglichkeit, komplexe Funktionswerte mittels Farben darzustellen.Die dargestellten Funktionen sind rationale komplexe Polynome, deren -jeweils einfache- Nullstellen und Pole im Ursprung und auf zwei dazu konzentrischen Kreisen liegen. Der Typ des Ursprungs ist dabei mit dem der Punkte auf dem äußeren Kreis identisch. Die ersten beiden Bilder in jeder Zeile zeigen den Real- bzw. Imaginärteil des rationalen Polynoms; die beiden anderen Bilder zeigen die Polar-Darstellung. Der Polar-Winkel ist mit dem Faktor 4 versehen; das sieht zwar besser aus, ist aber aus mathematischer Sicht eher störend. Die anderen drei Werte werden beliebig groß (es sind Pole im Bild!). Deshalb werden sie vor der Darstellung periodisch transformiert (Cosinus). Klicken auf ein kleines Bild in der Tabelle bewirkt die Anzeige des größeren Originals (~1MB).
Irren ist menschlichMathematisch vielleicht weniger interessant, dafür grafisch umso mehr, wird es, wenn man sich bei der Implementierung der komplexen Multiplikation vertut. Auf diese Weise sind die folgenden Varianten der Polynome mit 5 äußeren Nullstellen bzw. Polen entstanden:
Weitere DarstellungsmöglichkeitenNachteil der obigen Bilder ist, daß die beiden Komponenten der dargestellten komplexen Zahlen in verschiedenen Bildern zu finden sind. Man müßte also beide Bilder gleichzeitig ansehen, um einen Überblick über die Funktion zu erhalten; das ist zumindest schwierig, wenn nicht gar unmöglich.Es ist zu prüfen, ob sich dieses Problem durch eine geeignete Wahl der Farben beheben läßt. Wenn man den linear unabhängigen Komponenten der komplexen Zahlen (Real- und Imaginärteil bzw. Betrag und Winkel) jeweils eine Grundfarbe (rot, grün, blau) zuordnet, müßte die gesamte Funktions-Information in einem Bild vermittelbar sein. Fragt sich nur, ob dieses Bild noch irgendjemand interpretieren kann… Mal sehen: probieren geht über studieren! Ein weiteres Problem besteht darin, daß die obigen Darstellungen zwar ästhetisch ansprechend wirken, aber nur wenig über die Funktion aussagen: nicht einmal eine qualitative Einschätzung der Art 'die Komponente wächst in dieser Richtung' ist damit möglich. Vielleicht hilft hierfür eine andere Art der Darstellung, die den unbeschränkten Wertebereich von Realteil, Imaginärteil und Betrag nicht mittels einer Schwingung (cosinus) beschränkt, sondern mit einer Sägezahn-Funktion (modulo).
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