| Klaus BERNT |
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Komplexe FunktionenKonstruktion der BilderDarstellung einer Funktionskomponente mit dem FarbenkreisDie zuerst gewählte Darstellung einer Funktionskomponente im Blau-Gelb-Spektrum sieht zwar ästhetisch gut aus, hat aber für die Interpretation der Funktion einen entscheidenden Nachteil: sie läßt nicht einmal eine qualitative Analyse der Funktion zu. Um die unbeschränkten Komponenten Realteil, Imaginärteil und Betrag (nur nach unten beschränkt) auf das Intervall [0,1] abzubilden, aus dem heraus die Farbe einer Zelle generiert wird, wurde der Cosinus verwendet. Dieser ist zu seinen lokalen Extrema symmetrisch, weshalb -ausgehend von einer blauen oder gelben Zelle- nicht bestimmt werden kann, ob eine benachbarte andersfarbige Zelle einen kleineren oder einen größeren Wert repräsentiert. Es fehlt eine farbliche Ordnung im Bild.Der Farbenkreis trägt eine solche Ordnung: ist eine Zelle blau und ihr Nachbar cyan, so gehört zur Nachbarzelle ein kleinerer Funktions(komponenten)wert: im Farbenkreis liegt cyan (180°) vor blau (240°). Bildet man den gesamten (unbeschränkte) Definitionsbereich auf nur einen Durchlauf eines Spektrums ab, wäre die farbliche Ordnung unnötig, aber der farbliche Kontrast im Bild äußerst unzureichend. Läßt man hingegen mehrere Spektrums-Durchläufe zu, um den farblichen Kontrast zu erhöhen, läuft man -wie oben beschrieben- Gefahr, die Funktion nicht korrekt interpretieren zu können. Um die Unbeschränktheit einer Funktionskomponente zu 'besiegen', ohne die Ordnung zu verlieren, kann man eine reellwertige Variante der Modulo-Funktion einsetzen. Ist f(p(z)) die darzustellende Komponente der Funktion p() an der Stelle z, und c die Periode der Modulo-Funktion mod(x):=(x-⌊x/c⌋*c), so ist der Graph von mod ein stückweise linearer Sägezahn mit der 'Zahnweite' c. Wählt man c klein genug, daß die Funktionswerte benachbarter Zellen nicht mehr als c/2 auseinander liegen, läßt sich die lokale Ordnung innerhalb eines 'Zahn-Intervalls' im gesamten Bild fortsetzen. Wählt man c sehr klein, wird es Bildbereiche geben, in denen die farbliche Variation sehr heftig wird; das sieht nicht gut aus. Wählt man c jedoch zu groß, werden Bildbereiche, in denen sich die Funktionskomponente nur wenig ändert, praktisch einfarbig dargestellt; auch dies ist zu vermeiden.
Die folgenden Bilder zeigen Beispiele. Die Funktion ist wieder das komplex-rationale Polynom mit 5 bzw. 6 Nullstellen bzw Polen konzentrisch um den Ursprung. Gezeigt werden die unbeschränkten Komponenten Realteil, Imaginärteil und Betrag, jeweils mit 4 Modulo-Perioden. Wie auch schon auf der Index-Seite bewirkt ein Klicken auf ein kleines Bild in der Tabelle die Anzeige des größeren Originals (~1MB). Bilder einer unbeschränkten Komponente
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