Ausrichtung des Graduiertenkollegs
Struktur:
Das Graduiertenkolleg setzt sich aus den folgenden 7 Arbeitsgruppen
zusammen:
- Nichtlineare Analysis (Kielhöfer)
- Dynamik und Kontrolle
gewöhnlicher Differentialgleichungen (Aulbach / Colonius)
- Numerische Lösung gekoppelter Systeme
partieller Differentialgleichungen (Hoppe / Siebert)
- Nichtlineare Physik komplexer Systeme (Hänggi / Talkner)
- Globale Differentialgeometrie (Heintze / Eschenburg)
- Stark korrelierte Vielteilchensysteme (Eckern / Ziegler)
- Geometrische Analysis (Lohkamp)
Diese 7 Arbeitsgruppen werden von vier Begriffen bzw.
Themenbereichen geprägt und umspannt, die sich - alle unter dem Aspekt
der Nichtlinearität - mit den Stichworten Dynamik, Mannigfaltigkeiten,
Symmetrie und Numerik umschreiben lassen. Zu diesen Themen im
einzelnen:
Dynamik:
Differentialgleichungen, bei denen eine Variable als Zeit interpretiert
wird, spielen in sämtlichen Arbeitsgruppen eine große, in einigen
sogar die
zentrale Rolle. Während in der Arbeitsgruppe 1 gewöhnliche, partielle
und Funktional-Differentialgleichungen im Hinblick auf Verzweigung,
Linearisierung, Entkopplung und Reduktion aus analytischer
Sicht heraus behandelt werden, stehen in der Arbeitsgruppe 2 die kontroll-
und störungstheoretischen Aspekte bei Systemen gewöhnlicher
Differentialgleichungen im Vordergrund, und zwar aus analytischer,
stochastischer wie numerischer Sicht. Zentrales Thema der Arbeitsgruppe
3 ist die numerische Lösung gekoppelter Systeme von partiellen
Differentialgleichungen, mit starkem Anwendungsbezug zur Simulation komplexer
technologischer Prozesse. In der Arbeitsgruppe 4 werden physikalische
Anwendungen behandelt wie nichtlineare Oszillatoren, die Dynamik granulärer
Medien sowie die stochastische Dynamik in multistabilen Systemen. In der
Arbeitsgruppe 5 treten dynamische Systeme in Form von Hamiltonschen Systemen,
insbesondere geodätischen Flüssen, und von geometrischen partiellen
Differentialgleichungen (Einsteingleichung, Minimalflächen-Gleichung u.a.)
auf und in der Arbeitsgruppe 6 in Form von integrablen Systemen.
Mannigfaltigkeiten:
Die theoretische Verankerung des Begriffs der
Mannigfaltigkeit findet in der differentialgeometrischen Arbeitsgruppe 5
statt, in der sowohl spezielle Mannigfaltigkeiten als auch - meist durch
Krümmungseigenschaften definierte - Klassen von Mannigfaltigkeiten
untersucht
werden. Bei den in der Arbeitsgruppe 6 behandelten physikalischen Anwendungen
treten solche speziellen Mannigfaltigkeiten (Stiefel- und
Grassmann-Mannigfaltigkeiten) auf.
Mannigfaltigkeiten, die bezüglich dynamischer Aspekte invariant sind,
besitzen große Bedeutung in den Arbeitsgruppen 1 und 2, auch in Form von
Integralmannigfaltigkeiten und invarianten Faserbündeln. In der
physikalischen
Arbeitsgruppe 4 schließlich sind Energieflächen und Potentialgebirge
nützliche differentialgeometrische Hilfsmittel.
Symmetrie:
Der Symmetriebegriff spielt eine zentrale Rolle in
der Arbeitsgruppe 5 in zahlreichen Fragestellungen im Zusammenhang mit
Symmetrischen Räumen und Liegruppen sowie beim Studium geometrischer
Differentialgleichungen wie der Einsteingleichung.
In der Arbeitsgruppe 6 sind die Symmetrie-Eigenschaften von Lösungen der
Yang-Baxter-Gleichung von großer Bedeutung. Bei den in der Arbeitsgruppe 1
untersuchten Verzweigungsproblemen sind die spontane bzw. erzwungene
Symmetriebrechung im Zusammenhang mit äquivarianten Vektorfeldern von
fundamentalem Interesse. Auch in der Arbeitsgruppe 4 spielt die
Bifurkationstheorie wie auch der Symmetriebegriff für die Dynamik
dissipativer Systeme sowie die Form von periodischen Störungen
(Floquettheorie) bei nichtlinearen Medien eine wichtige Rolle. In der
Arbeitsgruppe 3 schließlich dienen partielle Differentialgleichungen
mit symmetrischen Randbedingungen als wohluntersuchte Spezialfälle
im Hinblick auf die Entwicklung von Methoden und Algorithmen für allgemeine
nichtsymmetrische Probleme.
Numerik:
Die Arbeitsgruppe 3 bildet das theoretische wie
praxisorientierte Zentrum für die Entwicklung und den Einsatz numerischer
Methoden. Neben dem eigentlichen Arbeitsgebiet der Gruppe,
der Entwicklung und Implementierung effizienter
iterativer Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen und der
Simulation komplexer technologischer Prozesse, spielt die numerische Expertise
dieser Gruppe für die in jeder der anderen Arbeitsgruppen benötigte Numerik
eine große Rolle. Diese Anwendungen gehen von der Visualisierung
analytischer Resultate in der Arbeitsgruppe 1 über die approximative Bestimmung
von Erreichbarkeitsmengen und Lyapunov-Exponenten in der Arbeitsgruppe 2,
numerisch berechnete (da analytisch nicht erzielbare) Ergebnisse der
physikalischen Arbeitsgruppe 4 bis hin zu numerisch ermittelten Lösungen
geometrischer Differentialgleichungen und graphischer Darstellungen in der
Arbeitsgruppe 5 und numerischen Simulationen von
Fermionen in der Arbeitsgruppe 6.
Die sich in diesen 4 Themenbereichen manifestierende Verzahnung der
7 Arbeitsgruppen bildet die Grundlage für einen intensiven
Informationsaustausch auf den verschiedenen Ebenen des Graduiertenkollegs.
Neben Vorlesungen und Arbeitsgemeinschaften, in
denen die einzelnen Themenbereiche grundlagentheoretisch oder auch
anwendungsorientiert dargestellt bzw. erarbeitet werden, soll die
Beschäftigung mit diesen Themen über die betreute Forschungsarbeit
durch die Graduierten bis in die höheren Niveaus der aktuellen Forschung
reichen. Die Kooperation und Interaktion zwischen den einzelnen
Arbeitsgruppen wird dabei vor allem projektbezogen und von
unterschiedlicher Dauer und Intensität sein, sie wird voraussichtlich
aber auf allen Ebenen stattfinden.
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Fachgebiete und Arbeitsrichtungen:
Geometrie:
Symmetrische Räume und isoparametrische Untermannigfaltigkeiten in
Hilberträumen, Einsteinmetriken mit hoher Symmetrie, Pluriminimale
Kähler-Untermannigfaltigkeiten, asymptotische Geometrie auf
Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Dynamik geodätischer
Flüsse auf Mannigfaltigkeiten positiver Krümmung.
Theoretische Festkörperphysik:
Wechselwirkende Elektronen in niedrigdimensionalen Systemen,
Berücksichtigung starker Korrelationen mittels exakter (Bethe-Ansatz)
und numerischer (Monte-Carlo) Methoden, Untersuchung der
Grundzustandseigenschaften sowie der dynamischen Antwort, insbesondere
in ein und zwei (Raum-) Dimensionen, Phasenkohärenz und Quantenfluktuationen
in Netzwerken von Josephson-Kontakten und anderen mesoskopischen Systemen,
Metall-Isolator- und Supraleiter-Isolator-Übergänge.
Analysis/Numerische Mathematik:
Verzweigungstheorie mit Symmetrien, lokale und globale qualitative Theorie
mit Anwendungen auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sowie
Funktionaldifferentialgleichungen (unendlich dimensionale dynamische Systeme),
invariante Mannigfaltigkeiten nichtautonomer Differential- und
Differenzengleichungen, qualitative Analyse irreversibler dynamischer Systeme,
Kontrolle und zeitabhängige Störungen gewöhnlicher Differentialgleichungen,
numerische Analysis, numerische Lösung partieller Differentialgleichungen,
numerische Simulation komplexer technologischer Prozesse.
Statistische und Nichtlineare Physik:
Transportphänomene und nichtlineare Effekte aller Art in klassischen, wie
auch
in quantenmechanischen Systemen, Fragen der Nukleation in Gleichgewichts- und
Nichtgleichgewichtssystemen, Einfluß von Rauschen auf Strukturbildung und
Signalverarbeitung, Dynamik von granulären Medien unter Rotation und
Vibration, Brownsche Motoren, Physik der Fallen und Speicher, gedämpfte
Quantensysteme, Magnetotransport in Nanostrukturen, Quantenchaos und
Lokalisierung, Kontrolle und Steuerung quantenmechanischer Prozesse mittels
zeitabhängiger Störungen.
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