Mandelbrot- und Julia-Mengen
Die einfache Iteration von komplexen Zahlen nach der Formel
zi+1 = zi2 + c mit einer
komplexen Konstanten c kann konvergieren (z.B. gegen Null), divergieren
oder keines von beiden. Der dritte Fall ist der eigentlich interessante:
die Punkte der Folge springen dann in einem Teil der komplexen Ebene umher,
können sich aber nicht entscheiden, ob ihr Betrag immer kleiner oder immer
größer werden soll. Bekannt ist, daß die Folge, wenn eines ihrer Glieder
einen Betrag größer als 2 hat, divergieren wird. Die Divergenzgeschwindigkeit
kann man mit der Zahl von Iterationen messen, die zum Erreichen dieser
Schranke (oder einer anderen, größeren) benötigt wird. Versieht man jede
dieser Zahlen mit einer Farbe und färbt jeden Punkt c der komplexen
Ebene mit der Farbe ein, die zu der Iterationszahl der Folge mit dem
Startwert z0=0 gehört, ergibt sich ein Bild der
Mandelbrot-Menge
(Benoît Mandelbrot;
französischer Mathematiker, 1924-2010) zu dieser Iteration.
Wählt man ein c beliebig aber fest, und variiert die Startpunkte
z0 in der komplexen Ebene, ergibt sich analog das Bild einer
Julia-Menge
(Gaston Julia;
französischer Mathematiker, 1893-1978).
Diese sieht für jedes c anders aus.
Hinweise
1) Die folgenden Grafiken sind jeweils auf eine Webseite verlinkt, die
eine größere Version des Bildes enthält. Diese wiederum verweist auf
eine Poster-Version des Bildes. Dieses Poster-Bild existiert nur in
der Offline-Version des Projekts; online steht nicht genug
Speicherplatz zur Verfügung.
2) Nach einer Grafik und ihren Produktionsdaten folgen jeweils
Angaben zur Verwandtschaft mit anderen Grafiken: welche sind eine
Ausschnittsvergrößerung, von welcher ist diese Grafik selbst ein
Ausschnitt, welche Julia-Mengen haben im Definitionsbereich dieser
(Mandelbrot-)Grafik ihren Iterations-Startpunkt bzw. in welcher
kleinsten Mandelbrot-Grafik findet man den Startpunkt dieser
(Julia-)Grafik, welche Grafiken unterscheiden sich lediglich durch
grafische Parameter von dieser usw..
3) Unter jeder der Verwandtschafts-Grafiken befinden sich
Angaben zur Position ihres Zentrums in der 'großen' Grafik (relativ
zur Kantenlänge, gemessen ab der Ecke unten links) und zum
Vergrößerungsfaktor im Vergleich zu ihr.
4) Bei einigen Grafiken mit besonders hoher Vergrößerung
(verglichen mit der jeweiligen Übersicht) erkennt man Bildfehler:
kleine, zusammenhängende Regionen der Grafik haben die gleiche Farbe,
obwohl sie verschiedenfarbig sein sollten, und bilden so ein Parkett,
ein Puzzle oder ein Blättergewirr. Diese Grafiken zeigen ‚die
Endlichkeit des Seins’: die Iteration kann die zugehörigen
Punkte nicht mehr unterscheiden, da der Computer dafür nicht genügend
Stellen zur Verfügung stellt. Dabei sind alle Berechnungen bereits in
‚double precision’ ausgeführt…
Mandelbrot-Mengen
Julia-Mengen
Grafische Experimente
Um die Wirkung der grafischen Parameter zu testen, wurden einige
Experimente in Trickfilm erstellt:
- Start des Spektrums: Mit einem festgelegten
Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der
Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird.
- Start des Spektrums: Mit einem festgelegten
Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der
Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird. (Gleiches Prinzip wie
beim ersten Film, aber anderes Bild und anderes Spektrum)
- Start des Spektrums: Mit einem festgelegten
Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der
Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird. (Gleiches Prinzip wie
beim zweiten Film, gleiches Bild, nur anderes Spektrum)
- Abbruch wegen Iterationszahl (äquidistant):
Von Bild zu Bild ändert sich die Iterationszahl, bei deren
Überschreitung die Iteration abgebrochen wurde, um den
gleichen Wert.
- Abbruch wegen Iterationszahl (äquivariat):
Die Grenzen wurden nachträglich derart festgelegt, daß von Bild
zu Bild gleich viele Pixel das Abbruchkriterium erreichen.
© Klaus.Bernt@math.uni-augsburg.de; Stand: 31.03.2011