Klaus Bernt Klaus BERNT

Mandelbrot- und Julia-Mengen

Die einfache Iteration von komplexen Zahlen nach der Formel zi+1 = zi2 + c mit einer komplexen Konstanten c kann konvergieren (z.B. gegen Null), divergieren oder keines von beiden. Der dritte Fall ist der eigentlich interessante: die Punkte der Folge springen dann in einem Teil der komplexen Ebene umher, können sich aber nicht entscheiden, ob ihr Betrag immer kleiner oder immer größer werden soll. Bekannt ist, daß die Folge, wenn eines ihrer Glieder einen Betrag größer als 2 hat, divergieren wird. Die Divergenzgeschwindigkeit kann man mit der Zahl von Iterationen messen, die zum Erreichen dieser Schranke (oder einer anderen, größeren) benötigt wird. Versieht man jede dieser Zahlen mit einer Farbe und färbt jeden Punkt c der komplexen Ebene mit der Farbe ein, die zu der Iterationszahl der Folge mit dem Startwert z0=0 gehört, ergibt sich ein Bild der Mandelbrot-Menge (Benoît Mandelbrot; französischer Mathematiker, 1924-2010) zu dieser Iteration.

Wählt man ein c beliebig aber fest, und variiert die Startpunkte z0 in der komplexen Ebene, ergibt sich analog das Bild einer Julia-Menge (Gaston Julia; französischer Mathematiker, 1893-1978). Diese sieht für jedes c anders aus.

 

Hinweise

1) Die folgenden Grafiken sind jeweils auf eine Webseite verlinkt, die eine größere Version des Bildes enthält. Diese wiederum verweist auf eine Poster-Version des Bildes. Dieses Poster-Bild existiert nur in der Offline-Version des Projekts; online steht nicht genug Speicherplatz zur Verfügung.
2) Nach einer Grafik und ihren Produktionsdaten folgen jeweils Angaben zur Verwandtschaft mit anderen Grafiken: welche sind eine Ausschnittsvergrößerung, von welcher ist diese Grafik selbst ein Ausschnitt, welche Julia-Mengen haben im Definitionsbereich dieser (Mandelbrot-)Grafik ihren Iterations-Startpunkt bzw. in welcher kleinsten Mandelbrot-Grafik findet man den Startpunkt dieser (Julia-)Grafik, welche Grafiken unterscheiden sich lediglich durch grafische Parameter von dieser usw..
3) Unter jeder der Verwandtschafts-Grafiken befinden sich Angaben zur Position ihres Zentrums in der 'großen' Grafik (relativ zur Kantenlänge, gemessen ab der Ecke unten links) und zum Vergrößerungsfaktor im Vergleich zu ihr.
4) Bei einigen Grafiken mit besonders hoher Vergrößerung (verglichen mit der jeweiligen Übersicht) erkennt man Bildfehler: kleine, zusammenhängende Regionen der Grafik haben die gleiche Farbe, obwohl sie verschiedenfarbig sein sollten, und bilden so ein Parkett, ein Puzzle oder ein Blättergewirr. Diese Grafiken zeigen ‚die Endlichkeit des Seins’: die Iteration kann die zugehörigen Punkte nicht mehr unterscheiden, da der Computer dafür nicht genügend Stellen zur Verfügung stellt. Dabei sind alle Berechnungen bereits in ‚double precision’ ausgeführt…

 

Mandelbrot-Mengen

mandel-00; scale=1,000 mandel-00a; scale=1,000 mandel-00b; scale=1,000 mandel-00c; scale=1,000 mandel-99-9; scale=1,000
mandel-99-8; scale=0,100 mandel-89; scale=0,100 mandel-99-7; scale=0,010 mandel-00-2; scale=0,010 mandel-75; scale=0,010
mandel-114; scale=0,010 mandel-00-1; scale=0,010 mandel-96-3; scale=0,010 mandel-99-6; scale=0,001 mandel-100; scale=0,001
mandel-84; scale=0,001 mandel-84-2; scale=0,001 mandel-87; scale=0,001 mandel-07; scale=0,001 mandel-83; scale=0,001
mandel-83-2; scale=0,001 mandel-42; scale=0,001 mandel-17; scale=0,001 mandel-48; scale=0,001 mandel-96-2; scale=0,001
mandel-50; scale=0,001 mandel-51; scale=0,001 mandel-51-1; scale=0,000 mandel-99-5; scale=0,000 mandel-100-1; scale=0,000
mandel-45; scale=0,000 mandel-49; scale=0,000 mandel-00-3; scale=0,000 mandel-113; scale=0,000 mandel-113b; scale=0,000
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mandel-96-1; scale=0,000 mandel-50-1; scale=0,000 mandel-71; scale=0,000 mandel-51-3; scale=0,000 mandel-00-7; scale=0,000
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mandel-09; scale=0,000 mandel-09-KWK; scale=0,000 mandel-78; scale=0,000 mandel-00-7p; scale=0,000 mandel-63; scale=0,000
mandel-61; scale=0,000 mandel-96; scale=0,000 mandel-50-2; scale=0,000 mandel-102; scale=0,000 mandel-46; scale=0,000
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mandel-19-KWK; scale=0,000 mandel-64h; scale=0,000 mandel-52-4; scale=0,000 mandel-98; scale=0,000 mandel-99; scale=0,000
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Julia-Mengen

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Grafische Experimente

Um die Wirkung der grafischen Parameter zu testen, wurden einige Experimente in Trickfilm erstellt:
  1. Start des Spektrums: Mit einem festgelegten Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird.
  2. Start des Spektrums: Mit einem festgelegten Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird. (Gleiches Prinzip wie beim ersten Film, aber anderes Bild und anderes Spektrum)
  3. Start des Spektrums: Mit einem festgelegten Spektrum wurde der Iterationswert verändert, der mit der Anfangsfarbe des Spektrums dargestellt wird. (Gleiches Prinzip wie beim zweiten Film, gleiches Bild, nur anderes Spektrum)
  4. Abbruch wegen Iterationszahl (äquidistant): Von Bild zu Bild ändert sich die Iterationszahl, bei deren Überschreitung die Iteration abgebrochen wurde, um den gleichen Wert.
  5. Abbruch wegen Iterationszahl (äquivariat): Die Grenzen wurden nachträglich derart festgelegt, daß von Bild zu Bild gleich viele Pixel das Abbruchkriterium erreichen.

 

© Klaus.Bernt@math.uni-augsburg.de; Stand: 31.03.2011

[Uni Augsburg]  [Math.-Nat. Tech. Fakultät]  [Institut für Mathematik]  [Print-Version]  [E-Mail]  aktualisiert am: 31.03.2011;  © Uni Augsburg